Simulation ist mehr als Software

Direktkontakt
0
Wunschliste
0 0
Warenkorb
DE
Die Geschichte der Finite Elemente Method

Berkeley - Heimat der Finite Element Methode

Die Anfänge der FE-Methode

FEM-Simulationen dienen im Produktentstehungsprozess dazu, frühzeitig zu erkennen und abzusichern, dass die erforderlichen Anforderungen auch erfüllt werden.

Auf welcher Grundlage diese Simulationen basieren, wie sich die damit verbundene Mathematik entwickelt hat und Einzug in die praktische Anwendung fand, darüber macht sich ein Berechnungsingenieur heute kaum noch Gedanken und hat es bisher vielleicht auch noch gar nicht erfahren. Hier ein kleiner Rückblick auf die Grundlagen und die geschichtliche Entwicklung der FEM sowie auf den bedeutenden Entwicklungsstandort Berkeley.

Ray W. Clough, University of California, hat den Begriff „Finite Elemente Methode“ geprägt und gilt, wie auch John H. Argyris, Imperial College in London und Technische Hochschule Stuttgart, als Erfinder der FEM.

Definition / Grundlagen

Mit der Finite-Elemente-Methode können Produkte, bevor sie gebaut werden, am Bildschirm auf ihre Tauglichkeit überprüft werden und notwendige Änderungen lassen sich schnell und ohne großen Aufwand vornehmen. Ingenieure sind daran interessiert, das Verhalten von Bauwerken, Fahrzeugen, Maschinen und Produkten unter bestimmten Belastungsszenarien im Voraus zu bestimmen. Bei der Konstruktion einer Brücke interessiert zum Beispiel, ob sie Eigengewicht und Verkehrslasten tragen kann und auch Windböen oder Erdbeben widerstehen wird. Das neu entwickelte Bügeleisen soll sich möglichst gleichmäßig und schnell erwärmen. Der elektrische Hubmagnet muss ausreichend starke Magnetfelder erzeugen, um die gewünschten Kräfte zu entwickeln. Bei einer Mikropumpe interessieren die internen Strömungsverhältnisse.

Das physikalische Verhalten von Strukturen wird mathematisch durch Differentialgleichungen beschrieben, die bereits im 17. und 18. Jahrhundert entwickelt wurden. So liefert zum Beispiel die Elastizitätstheorie von Cauchy die Differentialgleichung für den Biegebalken, und somit die Verformungen und Spannungen infolge einer Beanspruchung durch äußere Kräfte. Die Laplace-Gleichung ermöglicht die Beschreibung von Temperaturfeldern und die Navier-Stokes-Gleichungen erfassen das Strömungsverhalten eines Fluids. Die Maxwell-Gleichungen beschreiben elektromagnetische Felder und die Helmholtz-Gleichung befasst sich mit Problemen in der Akustik.

Numerische Approximationsmethoden

Die Lösungsfunktionen der Differentialgleichungen lassen sich entweder analytisch oder numerisch gewinnen. Analytische Lösungen sind für einfache, akademische Fälle geeignet. Für die vielfältigen und meist komplexen Aufgaben der Praxis kommen nur numerische Näherungsverfahren in Betracht. Hierzu wurden zwei Verfahren entwickelt: das Differenzenverfahren und das Variationsverfahren. Beim Differenzenverfahren wird die Differenzialgleichung durch die Aufteilung der Struktur in ein Raster näherungsweise gelöst. Dieses Verfahren hat sich nicht durchgesetzt.

Variationsverfahren gehen von einer genäherten Lösungsfunktion aus, die aus einem Satz von frei gewählten Ansatzfunktionen multipliziert mit unbekannten Parametern zusammengesetzt ist. Die noch unbekannten Parameter der Lösungsfunktion werden durch ein Minimalprinzip (Fehlerquadrat- oder Energieminimum) bestimmt. Damit wird das Differentialgleichungsproblem auf die Lösung eines algebraischen Gleichungssystems für die eingeführten unbekannten Parameter überführt. Die Güte der Näherungslösung hängt von den gewählten Ansatzfunktionen und der Anzahl der unbekannten Parameter ab.

Die Finite-Elemente-Methode ist ein solches numerisches Verfahren, das aber die Besonderheit aufweist, dass die Ansatzfunktionen gebietsweise (elementweise) gewählt werden und die freien Parameter physikalisch deutbare Größen an den Verbindungsstellen (Knoten) der Bereiche (Elemente) sind, zum Beispiel Verschiebungen, Temperaturen oder magnetische Potentiale. FEM hat sich über die Jahre als rechnerisches Verfahren durchgesetzt, weil es auf Computer zugeschnitten ist und mit diesen die Lösungsmöglichkeiten gewachsen sind. Aufgrund der Aufteilung in viele Bereiche (Elemente) können komplizierte Geometrien abgebildet und für die Elemente einfachere Ansatzfunktionen gewählt werden.Eine umfangreiche Beschreibung der Finite-Elemente-Methode findet sich in [1].

Die Idee, eine Näherungslösung durch bereichsweise einfache Funktionen zu erhalten, war schon im antiken Griechenland bekannt. Bereits Archimedes von Syrakus (287 - 212 v. C.) hat das Verhältnis von Kreisumfang zu Durchmesser, d.h. die Zahl Pi, durch Näherung des Kreises durch gerade Linien bestimmt. Je mehr Geradenstücke (Bereiche) gewählt werden, desto genauer wird das Ergebnis. 1697 hat Gottfried Leibniz das Brachistochrone Problem durch die Annäherung mit Geradenstücken gelöst.

Geschichtliche Entwicklung der FEM

Die Entwicklung der FEM begann Mitte der 1950er Jahre an verschiedenen Universitäten, hauptsächlich aber an der University of California, Berkeley, der University of Wales, Swansea, und an der Universität Stuttgart. Die Universität Stuttgart war und ist auch heute noch eine der führenden Forschungsstätten auf dem Gebiet der numerischen Simulation. Zwei – und damit alle – Excellenzcluster für Simulation wurden 2019 an die Universität Stuttgart vergeben.

John Argyris, Professor am Imperial College in London und an der Universität Stuttgart, hat in den Jahren 1954 bis 1956 das klassische, energetische Verfahren (Prinzip der virtuellen Arbeit, Johann Bernoulli 1667 - 1748) der Baustatik für eindimensionale Stabwerke in Matrizenschreibweise modular und computergerecht formuliert. Das Prinzip der virtuellen Arbeit besagt, dass bei einer virtuellen, kleinen Verschiebung die Arbeit gleich Null ist, wenn die Struktur im Gleichgewicht ist, das heißt, die potenzielle Energie ein Minimum aufweist. Argyris hat anstelle der Betrachtung der Gesamtstruktur die Beziehung zwischen Kräften und Verformungen an den Endknoten von Einzelstäben mit Hilfe von Matrizen beschrieben und diese unter Wahrung der Gleichgewichtsbedingungen und geometrischen Bedingungen in eine Gesamtmatrix eingebaut. Auf diese Weise ergibt sich ein Gleichungssystem mit den Verschiebungsgrößen als Unbekannte. Zusammengefasst wurden seine Forschungen zur „matrix displacement method“ 1960 veröffentlicht [2]. Die von Argyris zugrunde gelegten physikalisch definierten Energieprinzipien sind mathematisch betrachtet Variationsverfahren, was später festgestellt wurde.

Auch das Institut für Baustatik mit Erwin Stein, Ekkehard Ramm und den späteren Mitarbeitern Wolfgang A. Wall und Manfred Bischoff haben die Entwicklung der FEM mitgestaltet. Hier hat man sich von vornherein auf Variationsverfahren fokussiert und seit den 1970er Jahren mehrere Doktorarbeiten zur Weiterentwicklung (Diskretisierung, Formulierung in FEM) der Variationsverfahren von Ritz (1909), Galerkin (1915), Trefftz (1926), Courant (1943) und danach von Hellinger und Reißner (1953) angefertigt. Die Verfahren unterscheiden sich durch Anforderungen bezüglich der Ansatzfunktionen, die die Differentialgleichung oder die Randbedingung erfüllen müssen oder völlig freigewählt werden können. Auf diesem Gebiet wurde ein intensiver Austausch mit der University of California, Berkeley, gepflegt.

"Berkeley - Heimat der Finite Elemente Methode"

In Berkeley hielten sich in den 1950er und 1960er Jahren Forscher aus vielen Ländern für ein Sabbatical auf. Die dortigen, anfänglichen Aktivitäten sind in einer umfangreichen Veröffentlichung beschrieben [3], die im Folgenden kurz zusammengefasst wird.

Eine erste Idee, die energetische Methode, die Argyris auf eindimensionale Stabwerke (Elemente) angewandt hat, auf flächige Elemente mit je drei Knoten und der Annahme konstanter Dehnung zu übertragen, wurde 1954 von Jon Turner, Ingenieur bei Boeing, bei einem Meeting des Institute of Aeronautical Sciences in New York präsentiert, aber erst 1956 veröffentlicht. Unter Leitung von Clough wurde diese Idee mit vielen Studenten weiterentwickelt und auf der 2. ASCE Conference on Electronic Computations 1960 in dem Paper „The Finite Element Method In Plane Stress Analysis” [4] präsentiert. Das dreieckige Element erfüllte die Spannungs-Dehnungsbeziehungen innerhalb des Elements, die Verträglichkeit der Verschiebungen zwischen den Elementen und die Gleichgewichtsbedingungen auf integraler Basis an den Knoten. Zweidimensionale Strukturen konnten so in einzelne Elemente aufgeteilt werden und unter Wahrung der Gleichgewichtsbedingungen und der Verträglichkeit zur Gesamtstruktur zusammengebaut werden. Dies führte mathematisch auf ein Gleichungssystem mit den Verschiebungsgrößen an den Knoten als Unbekannte. In dieser Veröffentlichung von 1960 hat Clough den Begriff „Finite Element Method“ geprägt.

Im gleichen Jahr wurde von Clough und Wilson ein voll automatisiertes Finite-Elemente-Programm entwickelt, das Ingenieuren mit wenig mathematischem Wissen erlaubte, ebene Strukturen (Scheiben) beliebiger Geometrie zu berechnen.

Danach begann eine stürmische Entwicklung. Benötigt wurden moderne Berechnungsmethoden im Bauwesen zum Ausbau der Brücken von Autobahnen und zur Absicherung gegen Erdbeben, für das Projekt der bemannten Raumfahrt (Mondlandung 1969), im Anlagenbau zur Berechnung von Ölplattformen, der Alaska Pipeline und zum Bau von Kernkraftreaktoren, Kühltürmen und Talsperren. Um die umfangreiche Forschungsprojekte zu ermöglichen, wurde auf dem Berkeley Campus das Structural Engineering Building (Davis Hall) erstellt. Unterstützt wurden die Entwicklungen durch das Aufkommen und der schnellen Steigerung der Rechenleistung von Computern.

Cloughs Kollegen aus dem Bereich der Kontinuumsmechanik waren skeptisch bezüglich der neuen Methode. So auch Professor Karl Pister, der Clough mit einer Reihe von Testrechnungen herausforderte. Alle Ergebnisse waren zufriedenstellend und konvergierten bei Hinzunahme von mehr Elementen. Pister hat dann in weitern Forschungen erkannt, dass die FEM eine spezielle Formulierung der mathematischen Ritz-Methode (1909), einem näherungsweisen Variationsverfahren darstellte. Courant hat 1943 das Ritz-Verfahren auf mehrere Bereiche (Elemente) erweitert, hat aber das Verfahren nicht weiterverfolgt, da es zu großen, damals nicht lösbaren Gleichungssystemen führte. Galerkin (1915) und Trefftz (1926) sind weitere Mathematiker, die basierend auf dem Variationsverfahren näherungsweise Lösungen entwickelt hatten. Sie alle können als Wegbereiter der FEM bezeichnet werden. Nicht zuletzt Leibniz (1646 - 1716), der das Variationsverfahren zur Lösung von Differentialgleichungen postuliert hat.

Die Erkenntnis, dass die von Energieprinzipen abgeleitete FEM mathematisch als Variationsverfahren betrachtet werden kann, ermöglichte die Lösung beliebiger Differentialgleichungen, zum Beispiel für die Wärmeleitung oder anderer Feldprobleme. In der Strukturmechanik wurden eine Vielzahl von Elementen unterschiedlicher Komplexität für Scheiben, axialsymmetrische Strukturen, Platten, Schalen und dreidimensionale Bauteile entwickelt. Nichtlinearitäten bezüglich Geometrie, Material und Struktur (Kontaktzonen) wurden erfasst und verschiedene Algorithmen zur Lösung großer Gleichungssysteme erstellt.

In Zusammenarbeit mit O.C. Zienkiewicz, Professor an der University of Wales in Swansea, und anderen Forschern wurden während eines Aufenthaltes von Professor Clough als Visiting Professor an der University of Cambridge 1964-65 in einer Reihe von Seminarbeiträgen die vielfältigen Erweiterungen der Methode zusammengefasst und 1965 veröffentlicht [5]. 1977 sind diese Zusammenfassungen mit Ergänzungen in einem Buch [6] erschienen. Im Oktober 1965 fand die erste internationale Konferenz über „Matrix Methods in Structural Analysis“ an der Wright-Patterson Air Force Base [7] statt, die Wissenschaftler aus vielen Ländern zusammenbrachte. Seither wurde die Bezeichnung „Finite Element Method“ allgemein anerkannt, anstelle von „Direct Stiffness Method“.

In Berkeley wurden verschiedene Richtungen verfolgt

In der Zeit von 1965 bis 1970 verfolgten die Forscher in Berkeley viele verschiedene Richtungen. Das motivierte exzellente Studenten nach Berkeley zu gehen, galt es doch als „home of the finite element method“, wo berühmte Professoren wie Clough, Wilson, Pister, Popov, Penzien, Felippa, Taylor, Bathe, Scordelis und Bouwkamp – um nur einige zu nennen – forschten.

Während dieser Zeit entwickelten Wilson und Clough auch das Lernprogramm SMIS (Symbolic Matrix Interpretive System), um eine Brücke von der traditionellen Handrechnung zur Matrizenmethode zu schlagen. Dieses wurde ständig ergänzt; die letzte Version, CAL 91, wurde noch 1999 benutzt. Für Forschungszwecke erstellte Wilson 1969 die Software SAP (Structural Analysis Program). Klaus-Jurgen Bathe ergänzte das Programm [8]. Diese Version SAP IV war zu dieser Zeit eines der schnellsten und umfänglichsten Programme. Es war frei erhältlich und hatte sich so weltweit verbreitet. Auch ich hatte 1977, am Ende meines Aufenthaltes in Berkeley ein Magnetband mit SAP IV nach Hause mitgenommen.

Im Schlusswort heben die Autoren von „Early Finite Element Research at Berkeley“ hervor, dass wohl die informelle Art und Weise, ohne zentrale Einrichtung, die in Berkeley vorherrschte, zum Erfolg beigetragen hat. Ungefähr 50 Prozent der Studenten, die dort promoviert wurden, fanden einen Ruf an eine bedeutende Universität oder eine Forschungsstelle in der Industrie.

J.A. Argyris und R.W. Clough gelten heute als die Erfinder der FEM. Sie erhielten viele Auszeichnungen. R.W. Clough und O.C. Zienkiewicz, der die breite Anwendung der FEM erkannte, wurden mit der Prince Philip Medal der Foundation of Engineering geehrt und J. A. Argyris mit dem Einstein Award, einer der höchsten Auszeichnungen der Vereinigten Staaten.

Author
Dr.-Ing. Günter Müller, Gründer der CADFEM GmbH and geschäftsführender Gesellschafter der CADFEM International GmbH

Literaturhinweise
[1] Rannacher, R., Stein E.: Finite Elemente, Spektrum der Wissenschaften, März 1997, ISSN 0170-2971.
[2] Argyris, J.H.: Energy Theorems and Structural Analysis, Butterworths Scientific Publications, 1960.
[3] Clough, R.W., Wilson E. L.: Early Finite Element Research at Berkeley, Fifth U.S: National Conference on Computational Mechanics, Aug. 4-6, 1999.  
[4] Clough, R.W.: The Finite Element Method in Plane Stress Analysis, Proc. 2nd ASCE Conf. On Electronic Computation, Pittsburgh, PA. Sept. 1960.
[5] Zienkiewicz, O.C.: Stress Analysis – Recent Developments in Numerical and Experimental Methods, John Wiley & sons Ltd., 1965.
[6] Zienkiewicz, O.C.: The Finite Element Method, McGraw-Hill Book Company, UK, 1977.
[7] Proc. Matrix Methods in Structural Analysis, Wright-Patterson Air Force Base, Ohio, October 26-28. 1965.
[8] Bathe, K.J., Wilson E.L., Peterson F.E.: “SAP IV” – A Structural Analysis Program for Static and Dynamic Response of Linear Systems”, EERC 73/11, Earthquake Engineering Research Center, June 1973.

Entwicklung der Differentialgleichungen

Stein, E.: Calculemus! The Craddle of Modern Science and Calculation Techniques in the 17th Century with Gottfried Wilhelm Leibniz as a Universal Scholar.
Stein, E.: The origins of mechanical conservation principles and variational calculus in the 17th century, GAMM Mitteilungen Volume 34, Issue 1 and 2, 2011, WILEY Verlag, Deutschland.
Mahrenholtz, O., Gaul, L.: Die Entwicklung der Strömungsmechanik von Archimedes bis Stokes und Reynolds, GAMM Mitteilungen Volume 34, Issue 1 and 2, 2011, WILEY Verlag, Deutschland.
Ramm, E., W. A. Wall: On the Evolution of Computational Mechanics – Personal Reflections, GACM Report, Autumn 2019, No. 12.
Wunderlich, W.: On the Development of Computational Mechanics in Germany and the Founding of GACM, GACM Report, Autumn 2019, No. 12.
Ramm, E.: Principles of Least Action and of Least Constraint, GAMM Mitteilungen Volume 34, Issue 1 and 2, 2011, Wiley Verlag, Deutschland.

Umfassende Zusammenstellung von Veröffentlichungen zu Computational Mechanics
Stein, E., De Borst, R., Hughes, Thomas. J.R. (Editors): Encyclopedia of Computational Mechanics, 3 volumes, 2336 pages, John Wiley 6 Sons, Ltd., England, 2004.

Einführung in die FEM-Theorie
Bathe, K.-J.: Finite Element Procedures in Engineering Analysis, Prentice-Hall, Inc., Englewood Cliffs, New Jersey 07632, 1982, 1996, ISBN 0-13-317305-4.

© Bilder: privat


Weitere Artikel zu diesem Thema lesen