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L'histoire de la méthode des éléments finis

Berkeley - Berceau de la méthode des éléments finis

L’origine de la méthode des éléments finis​​

Les simulations FEM jouent un rôle prépondérant dans les processus de développement ou de production en aidant l'utilisateur à évaluer si les exigences essentielles ont été satisfaites et à s'assurer qu'elles le sont.

Les questions concernant ce qui se trouve au cœur de ces simulations et la manière dont les mathématiques associées se sont développées et ont été appliquées n'ont peut-être jamais traversé l'esprit des ingénieurs en informatique d'aujourd'hui - et ils n'ont peut-être même jamais entendu parler de ces questions. Ce qui suit donne un bref aperçu du commencement et de l'évolution de la méthode des éléments finis, sachant que Berkeley y a joué un rôle important dans son développement.

Ray W. Clough de l'Université de Californie a inventé le terme "Méthode des Eléments Finis"; avec John H. Argyris de l'Imperial College de Londres et de l'Université technique de Stuttgart, il est considéré comme l'inventeur de la méthode des éléments finis.

Définition / Fondations

La méthode des éléments finis permet de vérifier l'adéquation de produits numériquement avant même leur construction ; elle permet également de mettre en œuvre les changements nécessaires de manière rapide et peu coûteuse. Les ingénieurs souhaitent déterminer à l'avance comment les bâtiments, les véhicules, les machines et les produits se comporteront dans certains scénarios de charge. Lors de la construction d'un pont, par exemple, il est important de savoir si la structure sera capable de supporter son propre poids ou une charge imposée ou si elle pourra résister à des rafales de vent ou à des tremblements de terre. Ils souhaitent qu'un fer à repasser nouvellement développé chauffe de manière aussi uniforme et aussi rapidement que possible. Les aimants de levage doivent générer des champs magnétiques suffisamment puissants pour produire les forces souhaitées. En ce qui concerne les micropompes, ce sont les conditions d'écoulement interne qui sont évalués.

Le comportement physique des structures peut être décrit mathématiquement à l'aide d'équations différentielles développées aux 17ème et 18ème siècles. Par exemple, la théorie de l'élasticité de von Cauchy fournit l'équation différentielle pour les poutres de flexion - et donc aussi la déformation et la contrainte causées par les charges externes. L'équation de Laplace fournit une méthode pour décrire les champs de température, et les équations de Navier-Stokes rendent compte de l'écoulement d'un fluide. Les équations de Maxwell repésentent les champs électromagnétiques, et l'équation de Helmholtz traite des problèmes d'acoustique.

Méthodes d'approximation numérique

Les équations différentielles peuvent être résolues en utilisant des méthodes analytiques ou numériques. Si les solutions analytiques sont appropriées pour des objectifs académiques simples, lorsqu'il s'agit de problèmes divers - et généralement complexes - liés à des situations réelles, seules les méthodes numériques méritent d'être prises en considération. Deux approches ont été développées dans ce sens : la méthode des différences finies et la méthode variationnelle. La méthode des différences finies donne une solution approximative à une équation différentielle en divisant toute structure donnée en une grille.

Les méthodes variationnelles sont basées sur une fonction d'approximation consistant en un ensemble de fonctions d'essai librement choisies multipliées par des paramètres inconnus. Les paramètres inconnus de la fonction d'approximation sont déterminés en utilisant un principe de minimisation (l'erreur quadratique moyenne minimale, ou le minimum d'énergie). Cela transforme le problème d'équation différentielle en un ensemble d'équations algébriques pour des paramètres inconnus donnés. La qualité de la solution approximative dépend de la fonction d'essai utilisée et du nombre de paramètres inconnus.

La méthode des éléments finis représente l'une de ces méthodes numériques, bien qu'elle se distingue par le fait que les fonctions d'essai sont sélectionnées par morceaux (éléments) et que les paramètres libres constituent des variables physiquement interprétables situées aux points de jonction (nœuds) des domaines (éléments) ; ces variables peuvent être des déplacements, des températures ou un potentiel magnétique, par exemple. La méthode des éléments finis a été largement acceptée comme méthode de calcul dans la mesure où elle est adaptée aux ordinateurs, ce qui augmente son potentiel. Le fait de diviser les modèles de simulation en plusieurs domaines (éléments) permet de cartographier des géométries complexes et d'utiliser des fonctions d'essai plus élémentaires.Une description complète de la méthode des éléments finis se trouve dans [1].

À propos: l'idée que l'on pouvait obtenir des solutions approximatives en utilisant des fonctions de base domaine par domaine - c'est-à-dire basées sur les domaines - était bien connue dans la Grèce antique. À l'époque, Archimède de Syracuse (287-212 av. J.-C.) a déterminé le rapport entre la circonférence d'un cercle et son diamètre - c'est-à-dire pi - en approximant la forme d'un cercle à l'aide de lignes droites. Plus le nombre de sections droites (domaines) adoptées est élevé, plus le résultat est précis. En 1697, Gottfried Leibniz a résolu le problème du brachistochrone par approximation, en utilisant des lignes droites.

Evolution historique de la méthode des éléments finis

Le développement de la méthode des éléments finis a commencé au milieu des années 1950 dans diverses universités, mais il a surtout eu lieu à l'université de Californie, Berkeley, à l'université du Pays de Galles, Swansea, et à l'Université de Stuttgart. L'Université de Stuttgart était, et reste, l'un des principaux instituts de recherche dans le domaine de la simulation numérique. En 2019, l'Université de Stuttgart a obtenu le statut de posséder les deux seuls pôles d'excellence existants dans le domaine de la simulation.

Entre 1954 et 1956, John Argyris, professeur à l'Imperial College de Londres et à l'Université de Stuttgart, a formulé la méthode classique de conception des structures par la force (cf. le principe du travail virtuel,par Johann Bernoulli, 1667-1748) pour les cadres rigides unidimensionnels en utilisant la notation matricielle, sous une forme modulaire et compatible avec les ordinateurs. Le principe du travail virtuel stipule que si un corps est en équilibre et qu'il est soumis à un petit déplacement virtuel, le travail est égal à zéro, c'est-à-dire que l'énergie potentielle est au minimum. Plutôt que d'examiner la structure globale, Argyris a utilisé des matrices pour décrire la relation entre les forces et la déformation aux nœuds des barres individuelles tout en préservant à la fois les conditions d'équilibre des forces et les conditions géométriques - et a intégré ces matrices dans une matrice globale. Cela produit un système d'équations dans lequel les valeurs de déplacement sont la quantité inconnue. Pour résumer, ses recherches sur la "méthode de déplacement matriciel" ont été publiées en 1960 [2]. Il a été établi par la suite que, du point de vue des mathématiques, les principes de conservation de l'énergie définis physiquement par Argyris sont en fait des méthodes variationnelles.

Erwin Stein, Ekkehard Ramm et, plus tard, Wolfgang A. Wall et Manfred Bischoff de l'Institut de conception structurelle ont également contribué au développement de la méthode des éléments finis. Dès le début, l'accent a été mis sur les méthodes variationnelles, plusieurs thèses de doctorat ayant été réalisées depuis les années 1970 sur le développement des méthodes variationnelles (c'est-à-dire la discrétisation et la formulation au sein de la FEM) qui avaient été établies par Ritz (1909), Galerkin (1915), Trefftz (1926), Courant (1943), puis Hellinger und Reissner (1953). Les méthodes présentées varient en fonction de leurs exigences concernant les fonctions d'essai qui doivent satisfaire l'équation différentielle ou aux conditions limites, ou qui peuvent être choisies librement. Un échange intensif avec l'université de Californie, Berkeley, a été encouragé dans ce domaine.

"Berkeley - le foyer de la méthode des éléments finis"

À Berkeley, des chercheurs de nombreux pays étaient en congé sabbatique dans les années 50 et 60. Les premières recherches qui ont eu lieu sont décrites dans les pages d'une publication complète [3], et sont brièvement résumées ci-dessous.

L'idée initiale d'appliquer la méthode de la force - qu'Argyris avait appliquée à des cadres (éléments) rigides unidimensionnels - à des éléments bidimensionnels, dont chacun aurait trois nœuds et supposerait une contrainte constante, a été présentée par Jon Turner, ingénieur chez Boeing, lors d'une réunion de l'Institut des sciences aéronautiques à New York en 1954, mais elle n'a été publiée qu'en 1956. Sous la direction de Clough, cette idée a été développée par plusieurs étudiants, puis publiée lors de la deuxième conférence de l'ASCE sous la forme d'un article intitulé : "The Finite Element Method In Plane Stress Analysis" [4]. L'élément triangulaire satisfait la relation contrainte-déformation au sein de l'élément, la compatibilité de déplacement entre les éléments et l'équilibre des forces aux nœuds sur une base intégrale. Cela a permis de diviser les structures bidimensionnelles en éléments individuels et de les assembler en une structure globale donnée tout en préservant les deux conditions d'équilibre et de compatibilité des forces. D'un point de vue mathématique, cela a conduit à un système d'équations dans lequel les valeurs de déplacement au niveau des nœuds forment la quantité inconnue. Clough a inventé le terme "méthode des éléments finis" dans la publication susmentionnée datant de 1960.
La même année, Clough et Wilson ont développé un programme d'éléments finis entièrement automatisé qui a permis à des ingénieurs ayant peu de connaissances en mathématiques de calculer des structures planes (planaires) de n'importe quelle géométrie.

 

Cela a déclenché toute une série de développements. Des méthodes de calcul modernes étaient nécessaires dans l'industrie de la construction - pour améliorer les ponts d'autoroute et protéger les structures contre les effets des tremblements de terre ; pour le programme spatial habité (par exemple, les alunissages de 1969) ; dans le domaine de l'ingénierie des usines pour les calculs relatifs aux plateformes pétrolières et à l'oléoduc de l'Alaska, et dans la construction de centrales nucléaires, de tours de refroidissement et de barrages. Afin de faciliter ces vastes projets de recherche, un bâtiment (Davis Hall) a été érigé sur le campus de Berkeley pour le département d'ingénierie structurelle. Les développements ont été favorisés par l'émergence des ordinateurs et l'augmentation rapide de la puissance de traitement des ordinateurs.

Les collègues de M. Clough, experts en mécanique du milieu continu, étaient sceptiques quant à la nouvelle méthode. Parmi eux se trouvait le professeur Karl Pister, qui a fixé à Clough une série de calculs de test. Les résultats se sont tous révélés satisfaisants, et lorsque d'autres éléments ont été ajoutés, ils ont convergé. Au cours de recherches ultérieures, Pister a alors réalisé que la méthode des éléments finis constituait une formulation spéciale de la méthode mathématique de Ritz (de 1909), une méthode variationnelle basée sur l'approximation. En 1943, Courant avait étendu la méthode Ritz pour couvrir de multiples domaines (éléments), mais il n'avait pas poursuivi la méthode plus avant car elle donnait lieu à de grands systèmes d'équations qui étaient, à l'époque, insolubles. Les autres mathématiciens qui avaient développé des solutions basées sur l'approximation en se basant sur la méthode des variations étaient Galerkin (en 1915) et Trefftz (en 1926). On peut dire qu'ils sont les précurseurs de la méthode des éléments finis - aux côtés de Leibniz (1646-1716), qui a postulé que la méthode variationnelle pouvait être utilisée comme moyen de résoudre des équations différentielles arbitraires.

En mécanique des structures, de nombreux éléments de complexité variable ont été développés pour être utilisés avec des structures planes, des structures axisymétriques, des plaques, des coquilles et des composants tridimensionnels. Il était désormais possible d'inclure des non-linéarités géométriques, matérielles et structurelles (zones de contact), et divers algorithmes ont été compilés dans le but de résoudre de grands systèmes d'équations ; et la méthode pouvait être appliquée à d'autres disciplines de la physique, par exemple le transfert de chaleur ou l'écoulement des fluides.

Avec la collaboration d'O.C. Zienkiewicz, professeur à l'université du Pays de Galles à Swansea, et d'autres chercheurs, les nombreuses et diverses façons dont la méthode avait été développée ont été résumées et publiées dans une série d'articles en 1965, tandis que le professeur Clough était professeur invité à l'université de Cambridge, de 1964 à 1965 [5]. En 1977, ces résumés ont été publiés dans un livre [6] avec un certain nombre d'ajouts. En octobre 1965, la première conférence internationale sur les "Méthodes matricielles en analyse structurelle" a eu lieu à la base aérienne de Wright-Patterson [7], réunissant des scientifiques de nombreux pays différents. Depuis lors, l'expression "méthode des éléments finis" a été largement acceptée, de préférence à "méthode de rigidité directe".

La recherche à Berkeley s'est poursuivie dans différentes directions

Dans la période 1965-1970, les recherches à Berkeley ont pris de nombreuses directions différentes, ce qui a motivé de nombreux étudiants exceptionnels à se rendre à Berkeley, qui était considéré comme "le foyer de la méthode des éléments finis", avec des professeurs célèbres tels que Clough, Wilson, Pister, Popov, Penzien, Felippa, Taylor, Bathe, Scordelis et Bouwkamp - pour n'en citer que quelques-uns - qui y menaient leurs recherches.

Au cours de cette période, Wilson et Clough ont développé le logiciel pédagogique SMIS (Symbolic Matrix Interpretive System) pour combler le fossé entre le calcul manuel et la méthode matricielle. Ce logiciel a été constamment mis à jour, la version finale, CAL 91, étant toujours utilisée en 1999. En 1969, Wilson avait créé le SAP (Structural Analysis Program) à des fins de recherche, qui a ensuite été mis à jour par Klaus-Jurgen Bathe [8]. À l'époque, cette version, SAP IV, était l'un des programmes les plus rapides et les plus complets disponibles. ElleIl était disponible gratuitement, ce qui a conduit à sa distribution dans le monde entier. À la fin de ses études à Berkeley, en 1977, l'auteur actuel a également rapporté chez lui une bande magnétique contenant SAP IV.

Dans leur dernier passage, les auteurs de "Early Finite Element Research at Berkeley" soulignent comment l'approche informelle qui a prévalu à Berkeley, et qui n'avait pas de direction centrale, a contribué aux succès. Environ 50 % des étudiants qui ont obtenu leur doctorat à Berkeley ont été nommés à des postes de professeurs dans de grandes universités ou ont obtenu des postes dans des centres de recherche au sein de l'industrie.

J.A. Argyris et R.W. Clough sont aujourd'hui crédités d'avoir inventé la méthode des éléments finis et ont reçu de nombreuses récompenses. R.W. Clough et O.C. Zienkiewicz, qui ont reconnu les applications potentiellement vastes de la méthode des éléments finis, ont été honorés par la médaille du Prince Philip de la Royal Academy of Engineering, et J.A. Argyris a reçu le prix Einstein - l'une des plus hautes distinctions décernées aux États-Unis.

L'auteur
Guenter Mueller, fondateur de CADFEM GmbH et associé gérant de CADFEM International GmbH

Références
[1] Rannacher, R., Stein E.: Finite Elemente, Spektrum der Wissenschaften, März 1997, ISSN 0170-2971.
[2] Argyris, J.H.: Energy Theorems and Structural Analysis, Butterworths Scientific Publications, 1960.
[3] Clough, R.W., Wilson E. L.: Early Finite Element Research at Berkeley, Fifth U.S: National Conference on Computational Mechanics, Aug. 4-6, 1999.  
[4] Clough, R.W.: The Finite Element Method in Plane Stress Analysis, Proc. 2nd ASCE Conf. On Electronic Computation, Pittsburgh, PA. Sept. 1960.
[5] Zienkiewicz, O.C.: Stress Analysis – Recent Developments in Numerical and Experimental Methods, John Wiley & sons Ltd., 1965.
[6] Zienkiewicz, O.C.: The Finite Element Method, McGraw-Hill Book Company, UK, 1977.
[7] Proc. Matrix Methods in Structural Analysis, Wright-Patterson Air Force Base, Ohio, October 26-28. 1965.
[8] Bathe, K.J., Wilson E.L., Peterson F.E.: “SAP IV” – A Structural Analysis Program for Static and Dynamic Response of Linear Systems”, EERC 73/11, Earthquake Engineering Research Center, June 1973.

Le développement des équations différentielles

Stein, E.: Calculemus! The Craddle of Modern Science and Calculation Techniques in the 17th Century with Gottfried Wilhelm Leibniz as a Universal Scholar.
Stein, E.: The origins of mechanical conservation principles and variational calculus in the 17th century, GAMM Mitteilungen Volume 34, Issue 1 and 2, 2011, WILEY Verlag, Deutschland.
Mahrenholtz, O., Gaul, L.: Die Entwicklung der Strömungsmechanik von Archimedes bis Stokes und Reynolds, GAMM Mitteilungen Volume 34, Issue 1 and 2, 2011, WILEY Verlag, Deutschland.
Ramm, E., W. A. Wall: On the Evolution of Computational Mechanics – Personal Reflections, GACM Report, Autumn 2019, No. 12.
Wunderlich, W.: On the Development of Computational Mechanics in Germany and the Founding of GACM, GACM Report, Autumn 2019, No. 12.
Ramm, E.: Principles of Least Action and of Least Constraint, GAMM Mitteilungen Volume 34, Issue 1 and 2, 2011, Wiley Verlag, Deutschland.

Résumé exhaustif des publications sur la mécanique computationnelle
Stein, E., De Borst, R., Hughes, Thomas. J.R. (Editors): Encyclopedia of Computational Mechanics, 3 volumes, 2336 pages, John Wiley 6 Sons, Ltd., England, 2004.

Introduction à la théorie FEM
Bathe, K.-J.: Finite Element Procedures in Engineering Analysis, Prentice-Hall, Inc., Englewood Cliffs, New Jersey 07632, 1982, 1996, ISBN 0-13-317305-4.

© Photos : privé


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